Proyecto Lúnula
A pesar de que la enseñanza de las matemáticas sea considerada una labor fundamental para la formación básica de nuestros ciudadanos, su enorme complejidad no deja de impresionarnos. Diariamente, los profesores de matemáticas deben sortear todo tipo de obstáculos en clases para captar la atención de sus alumnos y hacer que ellos se mantengan despiertos e interesados en el trabajo matemático del aula. En la mayoría de los casos, los resultados de esta labor suelen ser desalentadores. Actualmente, vemos con preocupación cómo los alumnos de entre 12 y 16 años se resisten a participar de prácticas matemáticas en donde los contenidos son reducidos a un cúmulo de definiciones y reglas nemotécnicas, sin relación aparente con la historia y la cultura humana. Ante los problemas que enfrenta la enseñanza tradicional de las matemáticas, se hace necesario un cambio paradigmático que permee el escenario escolar y nos involucre a todos, un cambio que ofrezca oportunidades para la emergencia de soluciones alternativas a la pesadumbre que se ciñe sobre el estudio de las matemáticas en nuestras instituciones escolares.
Consideramos que dicho cambio paradigmático implica asumir con seriedad los reclamos que la sociedad contemporánea viene haciendo a la educación en general, y a la educación matemática en particular. En uno de estos reclamos, la sociedad acusa a la escuela de no estar a la par de los desarrollos científicos y tecnológicos del momento, hecho que representa una gran limitante para el desarrollo del pensamiento matemático en nuestra ciudadanía y, por ende, para el avance de la propia ciencia a futuro, ya que los nuevos métodos de trabajo matemático que surgen a partir de la expansión del saber en la era tecnológica actual no llegan a ser integrados a las prácticas del aula. En otro reclamo, la sociedad ha puesto en evidencia el compromiso que la educación, especialmente en países capitalistas, ha adquirido ya sea con la transmisión de saberes abstractos, descontextualizados, alejados del mundo que nos rodea, o con el desarrollo de estructuras mentales cada vez más sofisticadas. Una mirada crítica a las implicaciones de estos compromisos en la formación integral de nuestros ciudadanos, nos devela una verdadera tragedia.
Por un lado, el compromiso de la educación con la transmisión de saberes ha propiciado el establecimiento en la escuela de una cultura de enajenación que priva a los alumnos de sus potencialidades creativas básicas, sometiéndolos a un entrenamiento de la memoria que ha sido cuestionada en base a la utilidad que tienen esas matemáticas escolares en la cotidianidad. Este hecho ha justificado el avance de movimientos educativos en todo el mundo que apuestan al éxito de una enseñanza centrada en procesos de modelación matemática de fenómenos reales. Por otro lado, la perspectiva individualista que subyace en el desarrollo de estructuras mentales sofisticadas ha propiciado la alienación de los alumnos, haciéndoles creer que su esfuerzo individual es lo que da lugar al saber en sí, cuando en realidad el saber matemático es el resultado de prácticas sociales constituidas histórica y culturalmente, las cuales se encuentran repartidas por el mundo, a disposición de todos y en espera de ser descubiertas por profesores y alumnos.
En medio de estas circunstancias, debemos hacer algo. No es momento para renunciar a nuestra condición de docentes críticos y creativos, a la búsqueda de opciones que hagan frente a las contradicciones propias de los modelos educativos que elevan el capital por encima de lo humano. Cualquier aporte en esta dirección es un halo de esperanza para nuestros pueblos. El Proyecto Lúnula es una apuesta por la humanización de la enseñanza de las matemáticas, es un intento por configurar espacios educativos no-convencionales para la realización conjunta de profesores y alumnos, quienes hacen posible el aprendizaje de la geometría en armonía con el entorno, integrando nuevos artefactos culturales disponibles para la reflexión en torno a las matemáticas y propiciando nuevas relaciones sociales basadas en la responsabilidad, el compromiso y el cuidado del otro. Si pensamos en el auge que han tenido la modelación matemática y las tecnologías digitales en el campo de la Educación Matemática, así como en la reciente transformación curricular de la Educación Media en Venezuela, entonces podríamos afirmar que estamos en el mejor momento para llevar adelante un proyecto como este.
La fundamentación del proyecto está organizada en tres apartados. El primero presenta una reflexión sobre las relaciones entre la modelación matemática y el uso de tecnologías digitales y la innovación en la enseñanza de las matemáticas. El segundo apartado está dedicado a explicar la razón histórica que nos ha llevado a considerar el término “lúnula” como denominación del proyecto. Finalmente, en el tercer apartado hacemos una descripción general de la actividad no-convencional que proponemos como estrategia central para la promoción del aprendizaje geométrico en el marco del proyecto.
- 1.1. ¿Dónde situamos el proyecto?
- 1.2. ¿Por qué llamar al proyecto “Lúnula”?
- 1.3. Diagramación con GeoGebra
Dentro de la literatura especializada, el Proyecto Lúnula se sitúa en el encuentro dialógico de tres temáticas de investigación en Educación Matemática que actualmente ocupan los primeros lugares en las agendas de trabajo de diferentes investigadores y colectivos de investigación alrededor del mundo. Estas temáticas confluyen en nuestras reflexiones sobre la manera en que ocurre la actividad matemática subyacente en el proyecto, asumiendo que ésta es guiada por “una búsqueda común -es decir una búsqueda con otros- de la solución a un problema planteado, búsqueda que es al mismo tiempo cognitiva, emocional y ética.” (Radford, 2017a, p. 125). Mientras que las dos primeras temáticas tienen que ver con las maneras de producir saberes matemáticos durante la actividad, la tercera temática se refiere a las formas de interacción social en este contexto.
La primera temática en la que situamos el proyecto es la de modelación en Educación Matemática, también llamada modelación matemática. Buena parte de los estudios realizados sobre este tema han dado cuenta de algunas de sus componentes fundamentales, entre ellas: las situaciones de modelación que se proponen a los alumnos (Kaiser y Schwarz, 2010; Villa-Ochoa, 2013; Villa-Ochoa et al., 2009), los modelos producidos en respuesta a estas situaciones (Araújo, Rocha y Alves, 2014; Búa, Fernández y Salinas, 2015; Hitt y Quiroz, 2017; Molina y Villa-Ochoa, 2013; Villa-Ochoa, 2016), y los procesos a través de los cuales se obtienen estos modelos (Biembengut y Hein, 2004; Daher y Shahbari, 2015; Gutiérrez, Prieto y Ortiz, 2017). La influencia de la perspectiva cognitiva en el estudio de la tercera componente es innegable, dando lugar a una comprensión generalizada de los procesos de modelación como mecanismos de pensamiento y/o razonamiento del alumno en la actividad (Blum y Borromeo, 2009; Kaiser y Sriraman, 2006). El problema con esta visión psicológica de los procesos de modelación es su tendencia a reducir la actividad de modelación en sí al trabajo subjetivo, individual, autónomo del alumno, ignorando muchas veces que modelación matemática escolar implica un esfuerzo colectivo que se transforma en un bien cultural compartido.
La segunda temática que concurre en la actividad matemática tiene que ver con el uso de tecnologías digitales, en especial del Software de Geometría Dinámica (SGD) en la actividad matemática. Las investigaciones que giran en torno a esta temática sugieren tener en cuenta cómo los artefactos tecnológicos (en especial el SGD) pueden afectar la dinámica del aula, sugiriendo cambios en la manera de presentar los contenidos matemáticos, apertura a nuevos estilos de aprendizaje (Villareal, 2012), acceso a representaciones dinámicas de los objetos geométricos (Laborde, 1997) y flexibilidad para ser integradas a actividades no convencionales, como la elaboración de diagramas y simuladores que modelan fenómenos de la realidad (Hilton y Honey, 2011; Rubio, Prieto y Ortiz, 2016). Un tipo de SGD que ha mostrado su potencial como artefacto didáctico para la promoción del aprendizaje geométrico es el GeoGebra (Prieto, 2016), un software de matemática dinámica que vincula diferentes sistemas de representación semiótica de los objetos geométricos en una misma interfaz (Fioriti, 2012; Hohenwarter, 2006).
La tercera temática está relacionada con las formas de interacción social producidas en la actividad matemática. Apoyados en una perspectiva histórico-cultural, consideramos que la actividad vista como una búsqueda “con otros”, no solo produce saberes, sino también subjetividades (Radford, 2017b). De esta manera, la interacción social llega a ser el medio cultural por excelencia para la transformación del alumno en tanto sujeto humano, capaz de posicionarse críticamente ante el saber culturalmente constituido y ante sus formas de producción (Radford, 2014). Para evitar que la interacción se convierta en un medio de alienación, de domesticación de la consciencia, es necesario que profesores y alumnos trabajen juntos, inspirados por un clima de solidaridad, responsabilidad y respeto mutuo, dando lugar a una nueva ética comunitaria que se contrapone al paradigma individualista dominante en el escenario escolar actual.
El Proyecto Lúnula cobra vida en la intersección de estas temáticas, como se sugiere en la Imagen 2. Su lugar en el campo de la Educación Matemática es un hecho. En su desarrollo ponemos atención a los medios materiales e intelectuales que emplean los profesores y alumnos en la actividad, así como en los modos de interacción y cooperación entre estos individuos para lograr el objetivo de la actividad.
Imagen 1
Las matemáticas en la Grecia Antigua (s. VI-IV a.n.e.) se caracterizaron por el surgimiento de métodos de resolución de problemas basados en cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas. A pesar de lo sofisticado que resultaban para la época, estos métodos no permitieron resolver todos los problemas prácticos que enfrentaron los matemáticos griegos, algunos de los cuales llegaron a representar para ellos verdaderos quebraderos de cabeza. Los grandes problemas de las matemáticas griegas vieron luces siglos más tarde, con la aparición de nuevos métodos y resultados matemáticos en los siglos XVII y XVIII. Uno de estos problemas fue el de la cuadratura del círculo, esto es, “el problema sobre la búsqueda de un cuadrado de área equivalente a la de un círculo dado.” (Ríbnikov, 1987, p. 60).
Hipócrates de Quíos (s. V a.n.e.) fue el matemático griego más destacado en el estudio de las lúnulas cuadrables formadas por arcos de circunferencia. Este personaje también es recordado como el primer geómetra en compilar, en una misma obra, el sistema de geometría formado en ese tiempo: los Elementos de Hipócrates de Quíos (Heath, 1981; Ríbnikov, 1987). La principal contribución de Hipócrates al estudio de las lúnulas ha sido su descubrimiento de un método para cuadrar el área de esta figura: el área de la lúnula l dibujada sobre un lado del cuadrado ABCD inscrito en la circunferencia c es igual a la cuarta parte del área del cuadrado (ver Imagen 1).
Imagen 2
Todo apunta a que la decisión de los griegos en llamar “lúnula” a la nueva figura cuadrable es el producto de relaciones perceptuales que ellos establecieron entre las propiedades geométricas sobre el diagrama de la lúnula (la teoría) y las propiedades espaciales del fenómeno natural llamado luna creciente (la realidad). Esta tendencia hacia el establecimiento de relaciones perceptuales teoría-realidad revelan el poder heurístico de los diagramas, reconocido históricamente en el desarrollo de las matemáticas antiguas. Ahora bien, ¿si los diagramas constituyen medios de conexión teoría-realidad, por qué se insiste en enseñar matemáticas de manera formal y lógica, relegando a un segundo plano ese poder heurístico de los diagramas y desconociendo sus relaciones estrechas con los objetos del mundo real? ¿En qué momento perdimos de vista la importancia epistemológica de la percepción en la producción del saber matemático escolar?
En medio de estas contradicciones, el Proyecto Lúnula se presenta como un esfuerzo colectivo por ofrecer un espacio de realización personal y social en torno a la producción del saber geométrico en la escuela. Un espacio que promueve una actividad desde donde es posible aprender/enseñar geométrica vincular la teoría con la realidad circundante. Para nosotros, la palabra Lúnula representa muy bien esa intención del proyecto de acercarles al saber geométrico a través del despliegue de procesos socio-cognitivos de modelación matemática, mediados por el software GeoGebra.
En general, la diagramación con GeoGebra es una actividad educativa no-convencional de producción de diagramas dinámicos con GeoGebra, los cuales modelan las cualidades de forma y dimensión presentes en determinados objetos físicos. Como entidades materiales sobre la vista gráfica del software, los diagramas dinámicos son considerados en este proyecto como artefactos culturales y medios semióticos de objetivación (Radford, 2008) que a lo largo de la historia humana han tenido una presencia destacada en el desarrollo del pensamiento geométrico. Basados en la percepción y la teoría geométrica, quienes experimentan la diagramación con GeoGebra tienen la oportunidad de desarrollar capacidades para modelar, predecir y controlar la apariencia de los diagramas geométricos sobre la vista gráfica del software, revelando con ello la multiplicidad de relaciones que estos sujetos descubren entre las propiedades espaciales del diagrama y las propiedades geométricas del objeto teórico que éste modela (Laborde, 1997).
La labor de diagramación con GeoGebra tiene por objeto el encuentro de los individuos (profesores y alumnos) con determinadas formas de pensamiento y acción relativas a los objetos de la geometría plana, codificadas en la memoria cultural de quienes se han dedicado a resolver tareas de construcción geométrica. En lo que respecta a los profesores participantes del proyecto, la intención es que el encuentro con los saberes se produzca no sólo desde posicionamientos subjetivos propios de un aprendiz de geometría, sino también desde la visión de un profesor de matemáticas en ejercicio.
La dinámica de trabajo alrededor de esta actividad está encaminada por ciertas tareas de diagramación que demandan la representación de las distintas partes que componen la realidad estudiada, de manera que los individuos resuelven tantas tareas de diagramación como partes del objeto sean capaces de identificar. La resolución de cada tarea de diagramación implica transitar por un ciclo de modelación (ver Imagen 3) de cuatro procesos: problematización, matematización, trabajo matemático e interpretación. Una explicación más detallada de estos procesos se ofrece en Prieto (2017).
Imagen 3
Cada tarea de diagramación se vincula con a la labor de representar con GeoGebra alguna de las partes o el todo de un objeto físico seleccionado. La resolución de este tipo de tareas comienza con la producción de un boceto (dibujo a mano alzada) de la parte en cuestión. Este boceto se convierte en el modelo real para la tarea de diagramación. Un cambio en la interpretación del boceto, que pasa a verse desde una perspectiva geométrica, conduce a los individuos a vincular forma y dimensión del modelo real con ciertos objetos geométricos. Llamamos modelo matemático al conjunto de objetos geométricos que son evocados como objetos “ideales” para la representación del modelo real.
- Desarrollar en los alumnos formas codificadas de pensar y actuar geométricamente durante la producción de diagramas dinámicos con GeoGebra, que modelan determinados fenómenos intra y extra-matemáticos.
- Desarrollar en los profesores capacidades para la gestión eficiente de las experiencias de producción de los diagramas dinámicos de sus alumnos en situación de diagramación con GeoGebra.
- Promover formas de colaboración no alienantes entre profesores y alumnos que participan conjuntamente en la actividad de diagramación con GeoGebra.
El proyecto tendrá una duración de cuatro meses continuos, a partir del 1° de marzo de 2019, y será implementado en cinco instituciones educativas oficiales de educación media en Venezuela. Se proyecta una implementación del proyecto en tres fases.
Fase 1: Conformación del Equipo de Promotores
La fase 1 comprende tanto la selección de los profesores que formarán parte del proyecto en calidad de promotores de los aprendizajes, como la capacitación del equipo para una adecuada implementación del proyecto en sus escuelas. La capacitación consta de cuatro encuentros de trabajo virtuales, desde donde se podrá compartir información del proyecto, rendir cuenta de la implementación en las escuelas e interaccionar con todos los participantes de forma sincrónica y asincrónica.
El objetivo de la capacitación es familiarizar a los promotores en formación con las experiencias de diagramación con GeoGebra que constituyen la actividad central del proyecto. El logro del objetivo implica que los profesores comprendan en qué consiste esta actividad, qué objetivos de aprendizaje subyacen en ella, qué tareas la conforman, cómo y con qué artefactos se deben resolver las tareas, cuál es el rol que deben desempeñar los promotores durante las experiencias de diagramación, cuáles son los compromisos adquiridos por los promotores como consecuencia de su participación en el proyecto, entre otros asuntos de interés. Toda esta comprensión se resume en la toma de conciencia del plan de trabajo conjunto de promotores y alumnos que será desarrollado en la fase de implementación, así como de los materiales que le acompañan. De manera especial, los promotores deben reconocer el valor de los diagramas dinámicos como artefactos culturales y medios idóneos para provocar aprendizaje geométrico en los alumnos, así como el potencial didáctico de los procesos de construcción de diagramas con el software y de control de la apariencia de estos dibujos.
Dependiendo del número de postulados, esta capacitación puede tener un carácter selectivo, de manera que solo aquellos que muestren un buen desempeño durante los encuentros podrán ser considerados como potenciales promotores del proyecto. Por esta razón, la selección podría implicar la revisión de las cualidades de los postulantes antes y después de la capacitación.
Fase 2: Implementación de la Propuesta
La fase 2 comprende la implementación de una serie de acciones didácticas integradas al plan de trabajo conjunto. Esta fase comprende no sólo la puesta en práctica per-se del plan, sino también la creación de condiciones en las escuelas para el desarrollo de las acciones didácticas, así como la debida valoración retrospectiva de lo hecho, con el fin de garantizar los ajustes necesarios en la marcha del proyecto. Todos estos elementos son incorporados al plan de trabajo, el cual tiene una duración de 12 semanas.
Las acciones didácticas se conciben como estrategias de trabajo predefinidas, flexibles y guiadas por unas metas que, en su conjunto, hacen de la diagramación con GeoGebra una labor desplegada en la dirección de los objetivos del proyecto. Las metas que orientan las acciones del plan son las siguientes:
- ● Meta 1: Establecer (i) las tareas de construcción que garantizan la producción del diagrama dinámico esperado, y (ii) la secuencia de resolución progresiva de estas tareas. Para lograr esta meta es indispensable la participación en procesos de matematización de la realidad.
- ● Meta 2: Resolver las tareas de construcción geométrica utilizando el GeoGebra. La resolución de estas tareas implica el despliegue de un proceso de trabajo matemático que culmina con la producción del diagrama dinámico esperado.
- ● Meta 3: Socializar las experiencias de producción de los diagramas dinámicos. Para el alcance de esta meta se sugiere implementar la estrategia de discusión en gran grupo, de manera que los alumnos puedan compartir su trabajo con los demás compañeros, fijar posición crítica sobre el trabajo de otros y colaborar con la mejora del trabajo de todos.
Para que las metas del plan se logren, conviene atender a una serie de tareas en la forma de situaciones generadoras, preguntas concretas y ejercicios prácticos, que se proponen a los alumnos durante las 12 semanas de desarrollo del plan. Estas tareas aportan las situaciones problemáticas de partida, siendo recursos de gran importancia para provocar el aprendizaje geométrico en los alumnos. Dependiendo del propósito y momento en que se propongan, la resolución de estas tareas puede originar el surgimiento de nuevas tareas que también forman parte de la dinámica de diagramación con GeoGebra. Éste es el caso de las situaciones generadoras, las cuales dan lugar al surgimiento de las tareas de construcción geométrica que deben ser resueltas por medio del GeoGebra. De esta manera, el éxito en la implementación del plan de trabajo conjunto dependerá, en gran medida, de la habilidad del promotor para convertir la resolución de una tarea en un espacio público de encuentro con el saber geométrico, en donde él y sus alumnos trabajen conjuntamente bajo relaciones de respeto, compromiso y cuidado del otro.
Fase 3: Valoración conjunta
La fase 3 comprende el conjunto de acciones dirigidas a garantizar la buena marcha del proyecto durante su implementación y a futuro. Estas acciones se caracterizan por el despliegue de prácticas reflexivas individuales y colectivas, cuyo objeto de reflexión es la propia experiencia del profesor con la implementación del plan de trabajo conjunto. Las prácticas reflexivas individuales se materializan por medio de narrativas producidas por los mismos profesores, que revelan los significados de su experiencia personal dentro del proyecto, entremezclados entre recuerdos, sentimientos y relatos dialógicos, críticos y culturales. De la misma manera, las prácticas reflexivas colectivas se organizan en torno a discusiones guiadas con los profesores participantes, que tienen el propósito de desvelar los significados de la experiencia con la implementación del proyecto.
| Tipos de tareas | Número de Tarea | Semana de aplicación | Estrategias de trabajo sugeridas |
|---|---|---|---|
| Ejercicios prácticos referidos a figuras rectilíneas | T1, T2 | 1 | Resolución en gran grupo |
| T3, T4, T5 | 2 | ||
| Situación generadora | T6 | 3 | Presentación, Matematización |
| 4 | Trabajo Matemático | ||
| 5 | Socialización (1era parte) | ||
| 6 | Socialización (2da parte) | ||
| Ejercicios prácticos referidos a figuras curvilíneas | T7, T8 | 7 | Resolución en gran grupo |
| T9, T10, T11 | 8 | ||
| Situación generadora | T12 | 9 | Presentación, Matematización |
| 10 | Trabajo Matemático | ||
| 11 | Socialización (1era parte) | ||
| 12 | Socialización (2da parte) |